Question

一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q.若第k次出现“○”，则记a_k=1；出现“×”，则记a_k=-1.令S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)(理)当p=q=时，记ξ=|S₃|,求ξ的分布列及数学期望;

(文)当p=q=时,求S₆≠2的概率;

(2)当p=,q=时,求S₈=2且S_i≥0(i=1,2,3,4)的概率.

Answer 1

解：(1)(理)∵ξ=|S₃|的取值为1、3,

又p=q=,∴P(ξ=1)=()·()²·2=,P(ξ=3)=()³+()³=.4分

∴ξ的分布列为

ξ	1	3
P

∴Eξ=1×+3×=.

(文)先求S₆=2的概率.∵S₆=2,∴6次变化中,出现“○”有4次，出现“×”有2次.

故S₆=2的概率为()⁴·()²=.

∴S₆≠2的概率为P₁=1-=.

(2)当S₈=2时,即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0(i=1,2,3,4),

若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；

若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.

故此时的概率为P=(+)·()⁵·()³=(或).