Question

舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.

Answer 1

解析:先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段BC的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.

解:对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,2).?

由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.?

于是P在BC的中垂线l上,易求得其方程为x-3y+7=0.?

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P应在双曲线=1的右支上.?

直线l与双曲线的交点P(8,5)即为动物的位置,至此问题便可获解.?

据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=10.

所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).