Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P是圆C₁：x²+y²=$\frac{5}{3}$上的点，过P作圆的切线交椭圆于M，N两点，求△OMN面积的最大值，并求出面积最大值时切线的斜率．

Answer 1

分析 （1）由离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则3a²=4b²，菱形面积S=2ab=4$\sqrt{3}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由于点P位于圆上，因此△OMN的高恒为定值r，将求解△OMN面积的最大值转化为求解丨MN丨的最大值．首先考虑切线斜率存在的情况，联立直线和椭圆方程后，利用韦达定理表示丨MN丨，通过切线性质消去一个参数后，利用函数的单调性确定丨MN丨的最大值；再考虑斜率不存在时的特殊情况下丨MN丨的取值，从而确定丨MN丨的最大值，即可确定△OMN面积的最大值．

解答 解：（1）椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则3a²=4b²，
又∵菱形面积S=2ab=4$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…4分
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当切线与x轴不垂直时，设切线方程l：y=kx+m（m≠0），


联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
根据韦达定理，x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁+x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
由弦长公式可知：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8km}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}}$，化简得：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{192{k}^{2}+144-48{m}^{2}}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$①，

由直线y=kx+m与圆x²+y²=$\frac{5}{3}$相切，故$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{5}{3}}$，…8分
即m²=$\frac{5}{3}$（k²+1），将其代入①式得：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{112{k}^{2}+64}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$，
令t=k²（t≥0），
则丨MN丨=$\sqrt{16×\frac{（t+1）（7t+4）}{（4t+3）^{2}}}$=4×$\sqrt{\frac{7{t}^{2}+11t+4}{16{t}^{2}+24t+9}}$=4×$\sqrt{\frac{7}{16}+\frac{\frac{t}{2}+\frac{1}{16}}{16{t}^{2}+24t+9}}$，
=4×$\sqrt{\frac{7}{16}+\frac{1}{16×\frac{16{t}^{2}+24t+9}{8t+1}}}$，
=4×$\sqrt{\frac{7}{16}+\frac{1}{4（8t+1+\frac{25}{8t+1}+10）}}$≤4×$\sqrt{\frac{7}{16}+\frac{1}{4×（2\sqrt{（8t+1）×\frac{25}{8t+1}}+10）}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
当且仅当8t+1=$\frac{25}{8t+1}$，即t=$\frac{1}{2}$时等号成立，此时k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当斜率不存在时，x²=$\frac{5}{3}$，代入求得丨MN丨=$\sqrt{7}$＜$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故当k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，丨MN丨取得最大值$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
又S_△OMN=$\frac{1}{2}$丨MN丨•r，r为定值$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
故丨MN丨取得最大值时，S_△OMN也取得最大值$\sqrt{3}$，此时k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．