Question

14．（Ⅰ）解不等式（x+2）²（x+3）（x-2）≥0；
（Ⅱ）关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，求关于x的不等式cx²+bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式可化为：（x+2）²（x+3）（x-2）=0 ①或（x+2）²（x+3）（x-2）＞0②，解得答案；
（Ⅱ）由不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，a＜0，且x=-2和x=-$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+c=0的两根，结合韦达定理，可将不等式cx²+bx+a＞0化为${x^2}+\frac{5}{2}x+1＜0$，解得答案．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化为：（x+2）²（x+3）（x-2）=0 ①或（x+2）²（x+3）（x-2）＞0②，
解①得：x=-3或x=-2或x=2，
解②得：x＜-3或x＞2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2或x=-2}
（Ⅱ）∵不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞-$\frac{1}{2}$}，
∴a＜0，且x=-2和x=-$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+c=0的两根，
∴韦达定理得：-2+（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$=-$\frac{b}{a}$，-2×（-$\frac{1}{2}$）=1=$\frac{c}{a}$，
将不等式cx²+bx+a＞0两边同除以a得：
$\frac{c}{a}{x^2}+\frac{b}{a}x+1＜0$
即${x^2}+\frac{5}{2}x+1＜0$，
∴$-2＜x＜-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是高次不等式的解法，二次不等式解集的端点与对应方程根的关系，难度中档．