Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）令cn=

an

3n

，求数列{C_n}的前n项和T_n；
（3）若f(n)=

an (n=2k-1) bn (n=2k)

（k∈N^*），是否存在n∈N^*，使得f（n+13）=2f（n），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

2

n2-

1

2

n，an=

S1???n=1 Sn-Sn-1?n≥2

，求得a_n=n-1，再由2a_n=b_n+1，能够得到{b_n}的通项公式．
（2）由Cn=

n-1

3n

，知Tn=0×(

1

3

)+1•(

1

3

)2++(n-1)•(

1

3

)n，由错位相减法能求出Tn=

1

4

-

1

4

•

1

3n-1

-

n-1

2•3n

=

1

4

-

2n+1

4•3n

．
（3）当n为奇数时f（n）=a_n=（n-1）f（n+13）=2n+23；当n为偶数时f（n）=b_n=（2n-3）f（n+13）=n+12．由此能够导出满足条件的n存在且等于6．

解答：解：（1）由Sn=

1

2

n2-

1

2

n，由an=

S1???n=1 Sn-Sn-1?n≥2

求得a_n=n-1
又∵2a_n=b_n+1
∴b_n=2n-3
（2）Cn=

n-1

3n

∴Tn=0×(

1

3

)+1•(

1

3

)2++(n-1)•(

1

3

)n

1

3

Tn=0•(

1

3

)2++(n-2)(

1

3

)n+(n-1)•(

1

3

)n+1
两式相减得：

2

3

Tn=1×(

1

3

)2++(

1

3

)n-(n-1)•(

1

3

)n+1
∴

2

3

Tn=

( 1 3 )2•[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(n-1)•(

1

3

)n+1=

1

6

•[1-

1

3n-1

]-

n-1

3n+1

∴Tn=

1

4

-

1

4

•

1

3n-1

-

n-1

2•3n

=

1

4

-

2n+1

4•3n

（3）当n为奇数时：f（n）=a_n=n-1f（n+13）=2n+23
∴2n+23=2n-2?n∈?
当n为偶数时f（n）=b_n=2n-3f（n+13）=n+12由题
∴2•（2n-3）=n+12?n=6为偶数
∴满足条件的n存在且等于6．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．