Question

【题目】已知函数f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，（m∈R）.

（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＜4x﹣m；

（2）若f（x）＜0的解集为（﹣4,1），g（x）＝f（x）﹣x+5，对于n∈N*，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 当m＞0，不等式的解集为（﹣1,1），当m＝0时，不等式的解集为（﹣1,+∞），当m＜0，不等式的解集为（﹣∞,1）∪（﹣1,+∞），当m时，不等式的解集为（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,+∞），当m，不等式的解集为（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）；(2)证明见详解.

【解析】

（1）整理不等式，分解因式，对参数进行分类讨论，即可求得解集；

（2）由不等式的解集求得参数的值，再利用放缩的方法，证明不等式即可.

（1）f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，

f（x）+x2﹣1＜4x﹣m，

∴（m﹣1）x2+3x﹣2m+x2﹣1＜4x﹣m，

即mx2﹣x﹣（m+1）＜0，

即（x+1）[mx﹣（m+1）]＜0，

①当m＝0时，﹣x﹣1＜0，解得x＞﹣1，

②当m＞0时，原不等式为（x+1）[x﹣（1）]＜0，

解得﹣1＜x＜1，

③当m＜0时，原不等式为（x+1）[x﹣（1）]＞0，

令（x+1）[x﹣（1）]＝0，

解得x＝﹣1或x＝1，

⒈若﹣1＞1，即m＜0，

解得x＞﹣1或x＜1，

⒉若﹣1＝1，即m，

解得x≠﹣1，

⒊若﹣1＜1，即m，

解得x＜﹣1或x＞1，

综上所述：

当m＞0，不等式的解集为（﹣1,1），

当m＝0时，不等式的解集为（﹣1,+∞），

当m＜0，不等式的解集为（﹣∞,1）∪（﹣1,+∞），

当m时，不等式的解集为（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,+∞），

当m，不等式的解集为（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）

（2）∵f（x）＜0的解集为（﹣4,1），

∴f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m＝0的两个根为﹣4，1

∴﹣4+1，﹣4×1，

解得m＝2，

∴f（x）＝x2+3x﹣4，

∴g（x）＝f（x）﹣x+5＝x2+3x﹣4﹣x+5＝x2+2x+1＝（x+1）2，

∴，

要证明，

只要证，

即证，

①∵，

∴

11，

即证不等式的右边.

②∵，

∴

═，

即证不等式的右边.

综上所述：.即证.