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设函数f(x)=x3-tx+
t-1
2
,t∈R

(I)试讨论函数f(x)在区间[0,1]上的单调性:
(II)求最小的实数h,使得对任意x∈[0,1]及任意实数t,f(x)+|
t-1
2
|+h≥0
恒成立.
(1)∵函数f(x)=x3-tx+
t-1
2
,t∈R
,∴f(x)=3x2-t.
1°若t≤0,则f(x)≥0(不恒等于0)在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递增;
2°若t≥3时,∵3x2≤3,∴f(x)≤0在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递减;
3°若0<t<3,则f(x)=3(x+
t
3
)(x-
t
3
)
,令f(x)=0,解得x=
t
3

x∈[0,
t
3
)
时,f(x)<0,∴f(x)在x∈[0,
t
3
)
上单调递减;
x∈(
t
3
,1]
时,f(x)>0,∴f(x)在x∈(
t
3
,1]
上单调递增.
(2)f(x)+|
t-1
2
|+h≥0
?f(x)+|
t-1
2
|≥-h
,因此,只需求出当x∈[0,1],t∈R时,f(x)+|
t-1
2
|
的最小值即可.
方法一:令g(x)=f(x)+|
t-1
2
|
,x∈[0,1],
而g(x)=f(x),由(1)的结论可知:
当t≤0或t≥3时,则g(x)在[0,1]上单调,故g(x)min=min{g(0),g(1)}=min{
t-1
2
+|
t-1
2
|
1-t
2
+|
t-1
2
|
}=0.
当0<t<3时,则g(x)min=g(
t
3
)
=-
2
3
t
t
3
+
t-1
2
+|
t-1
2
|

∴h(t)=
0,当t≤0或t≥3时
-
2
3
t
t
3
+
t-1
2
+|
t-1
2
|,当0<t<3时

下面求当t∈R时,关于t的函数h(t)的最小值.
当t∈(0,1)时,h(t)=-
2t
3
t
3
在(0,1)上单调递减;
当1<t<3时,h(t)=-
2t
3
t
3
+t-1
h(t)=1-
t
3
>0,∴h(t)在(1,3)上单调递增.又h(t)在t=1处连续,故h(t)在t∈(0,3)上的最小值是h(1)=-
2
3
9

综上可知:当t∈[0,1]且t∈R时,f(x)+|
t-1
2
|
的最小值为m=-
2
3
9
,即得h的最小值为-m=
2
3
9

方法2:对于给定的x∈[0,1],求关于t的函数(t∈R),
g(t)=f(x)+|
t-1
2
|
=-xt+
t-1
2
+|
t-1
2
|
+x3=
-xt+x3,当t<1时
(1-x)t+x3-1,当t≥1时
的最小值.
由于-x≤0,当t∈(-∞,1)时,g(t)≤0;由于1-x≥0,故当t∈(1,+∞)时,g(t)≥0.
考虑到g(t)在t=1处连续,∴g(t)的最小值h(x)=x3-x.
下面再求关于x的函数h(x)=x3-x在x∈[0,1]时的最小值.
h(x)=3x2-1,令h(x)=0,解得x=
3
3

x∈(0,
3
3
)
时,h(x)<0,函数h(x)在此区间上单调递减;当x∈(
3
3
,1)
时,h(x)>0,函数h(x)在此区间上单调递增.
故h(x)的最小值为h(
3
3
)=-
2
3
9

综上可得:当x∈(0,1)时,且t∈R.f(x)+|
t-1
2
|
的最小值m=-
2
3
9
,即得h的最小值为-m=
2
3
9
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