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设函数f(x)=
3
sin2x+2cos2x+2

(I)求f(x)的最小正周期和值域;
(II)求f(x)的单调递增区间.
分析:(I)先降幂扩角,再利用辅助角公式,化简函数,即可求得f(x)的最小正周期和值域;
(II)利用正弦函数的单调增区间,整体思维,即2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,从而可得结论.
解答:解:(I)∵f(x)=
3
sin2x+2cos2x+2
=
3
sin2x+cos2x+3
=2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+3

=2(cos
π
6
sin2x+sin
π
6
cos2x)
=2sin(2x+
π
6
)+3
…(4分)
∴f(x)最小正周期为T=π,…(6分)
∵当x=2kπ+
π
2
,k∈z
时,f(x)有最大值5
x=2kπ-
π
2
,k∈z
时,f(x)有最小值1                    …(8分)
∴f(x)的值域为[1,5]…(9分)
(II)由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z
2kπ-
3
≤2x≤2kπ+
π
3
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
…(12分)
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z
.…(13分)
点评:本题考查三角函数的化简,考查函数的性质,正确化简函数,整体思维是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(ωx+
π
6
)
,(ω>0),x∈(-∞,+∞),且以
π
2
为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f(
α
4
+
π
12
)=
9
5
,求sinαtanα的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(2x-
π
3
)
的图象为C,给出下列命题:
①图象C关于直线x=
11
12
π
对称;
②函数f(x)在区间(-
π
12
12
)
内是增函数;
③函数f(x)是奇函数;
④图象C关于点(
π
3
,0)
对称.
⑤|f(x)|的周期为π
其中,正确命题的编号是
①②
①②
.(写出所有正确命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•许昌二模)在一次人才招聘会上,有A、B、C三种不同的技工面向社会招聘.已知某技术人员应聘A、B、C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2 (允许受聘人员同时被多种技工录用).
(I)求该技术人员被录用的概率;
(Ⅱ)设X表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积.
i) 求X的分布列和数学期望;
ii)“设函数f(x)=3sin
(x+X)4
π,x∈R
是偶函数”为事件D,求事件D发生的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(ωx+
π
6
)
,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以
π
2
为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知f(A)=-3,b=1,△ABC的面积为
3
2
  ,求
b+c
sinB+sinC
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
3
sin(2x+
π
6
)
(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)是否可以由函数f(x)的图象经过平移变换得到一个偶函数的图象?若可以,说明怎样变换得到;若不可以,说明理由.

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