Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）证明f（x）为偶函数；
（2）若不等式k≤xf（x）+ 在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，函数g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，

∵f（﹣x）= =f（x），

∴f（x）为偶函数

（2）k≤xf（x）+ =x在x∈[1，3]上恒成立，

∴k≤1

（3）g（x）=tf（x）+1=t（1﹣ ）+1 （t≥0）在x∈[ ， ]上递增，

∴g（ ）=2﹣3m，g（ ）=2﹣3n，

∴t（1﹣m2）+1=2﹣3m，t（1﹣n2）+1=2﹣3n，

∴m，n是t（1﹣x2）+1=2﹣3x的两个不相等的正跟，

∴tx2﹣3x+1﹣t=0（t＞0），

∴△=9﹣4t（1﹣t）＞0，

＞0，

＞0，

∴0＜t＜1

【解析】（1）利用定义判断函数的奇偶性，先求定义域，再判断f（﹣x）= =f（x）；（2）直接求右表达式的最小值即可；（3）得出g（x）=tf（x）+1=t（1﹣ ）+1 （t≥0）在x∈[ ， ]上递增，可得出g（ ）=2﹣3m，g（ ）=2﹣3n，
构造一方程m，n是t（1﹣x2）=2﹣3x的两个不相等的正跟，利用二次函数和韦达定理得出t的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．