Question

（2013•泉州模拟）定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x）．若对?x∈D，均有f（x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．
（Ⅰ）已知函数f（x）=sinx，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知函数h（x）=sinx+ax+a-1（a∈R，x∈[0，π]）为其定义域上的梦想函数，求a的最大整数值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照梦想函数的定义举反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）为（0，π）上为梦想函数，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分离出参数a后转化为函数最值解决；
（Ⅲ）求出h'（x）=cosx+a，由题意得h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．x=0时易判断成立；当0＜x≤π时，可得a＜

cosx-sinx+1

x

对任意x∈（0，π]恒成立．令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，利用导数可求得F（x）的最小值及其范围，从而得到a的范围，进而得到答案；

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx不是其定义域上的梦想函数．
理由如下：f（x）=sinx的定义域D=R，f'（x）=cosx，
存在x=

π

3

，使f(

π

3

)＞f′(

π

3

)，
故函数h（x）=sinx不是其定义域D=R上的梦想函数．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函数g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上为梦想函数，
则ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜

1

x

在x∈（0，π）上恒成立，
因为y=

1

x

在x∈（0，π）内的值域为(

1

π

，+∞)，
所以a≤

1

π

．
（Ⅲ）h'（x）=cosx+a，由题意h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，
故cosx+a＞sinx+ax+a-1，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．
①当x=0时，a•0＜cos0-sin0+1=2显然成立；
②当0＜x≤π时，由ax＜cosx-sinx+1，可得a＜

cosx-sinx+1

x

对任意x∈（0，π]恒成立．
令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，则F′(x)=

(-sinx-cosx)•x-(cosx-sinx+1)

x2

，
令k（x）=（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1），
则k′(x)=(sinx-cosx)•x=

2

x•sin(x-

π

4

)．
当x∈(0，

π

4

]时，因为k'（x）≤0，所以k（x）在(0，

π

4

]单调递减；
当x∈(

π

4

，π]时，因为k'（x）≥0，所以k（x）在(

π

4

，π]单调递增．
∵k（0）=-2＜0，k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，
∴当x∈(0，

π

4

]时，k（x）的值均为负数．
∵k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，k（π）=π＞0，
∴当x∈(

π

4

，π]时，k（x）有且只有一个零点x₀，且x0∈(

π

4

，π)．
∴当x∈（0，x₀）时，k（x）＜0，所以F'（x）＜0，可得F（x）在（0，x₀）单调递减；
当x∈（x₀，π）时，k（x）＞0，所以F'（x）＞0，可得F（x）在（x₀，π）单调递增．
则F(x)min=F(x0)=

cosx0-sinx0+1

x0

．
因为k（x₀）=0，所以cosx₀-sinx₀+1=（-sinx₀-cosx₀）•x₀，
F(x)min=F(x0)=-sinx0-cosx0=-

2

sin(x0+

π

4

)．
∵k（x）在(

π

4

，π]上单调递增，k(

π

2

)=-

π

2

＜0，k(

3π

4

)=

2

-1＞0，
∴

π

2

＜x0＜

3π

4

，
所以-1＜-

2

sin(x0+

π

4

)＜0，即-1＜F（x₀）＜0．
又因为a＜F（x₀），所以a的最大整数值为-1．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．