Question

设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)f(n)，

且当x＞0时，0＜f(x)＜1．

(1)求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1；

(2)判断f(x)在R上的单调性；

(3)设集合A＝{(x，y)|f(x²)f(y²)＞f(1)}，集合B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(m＋n)＝f(m)f(n)，令m＝1，n＝0，则f(1)＝f(1)f(0)，且由x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(0)＝1；设m＝x＜0，n＝－x＞0，∴f(0)＝f(x)f(－x)，∴f(x)＝＞1． 　　(2)设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f(x2－x1)＜1，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0，∴f(x)在R上单调递减． 　　(3)∵f(x2)f(y2)＞f(1)，∴f(x2＋y2)＞f(1)，由f(x)单调性知x2＋y2＜1，又f(ax－y＋2)＝1＝f(0)， 　　∴ax－y＋2＝0，又A∩B＝，∴，∴a2＋1≤4，从而．