Question

已知函数f（x）=x³-x
（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程
（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；
（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．

解答：解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x²-1．
曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t³-3at²+a+b，则g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：

由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b-f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；
当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0，t=

3a

2

，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；
当b-f（a）=0时，解方程g（t）=0得t=-

a

2

，t=a，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．
综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则

a+b＞0 b-f(a)＜0.

即-a＜b＜f（a）．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．