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用[x]表示不超过x的最大整数,如[3.1]=3,[-3.4]=-4,[0]=0,设函数f(x)=[x]-x(x∈R),关于函数f(x)有如下四个命题:
①f(x)的值域为[0,1)
②f(x)是偶函数  
③f(x)是周期函数,最小正周期为1  
④f(x)是增函数.
其中正确命题的序号是:
分析:①可求出函数f(x)的取值范围,即值域,可判断①错误.
②利用偶函数的定义,可以判断②错误.
③根据周期函数的定义,可验证函数{x}是周期为1的函数,从而可判③正确.
④由③可知函数是周期函数,所以在定义域上函数不单调,所以可以判断④错误.
解答:解:①函数{x}的定义域是R,但是-1<[x]-x≤0,故函数{x}的值域为(-1,0]故①错误.
②因为f(-0.1)=[-0.1]-(-0.1)=-1+0.1=-0.9,而f(0.1)=[0.1]-0.1=0-0.1=-0.1,
所以f(-0.1)≠f(0.1),所以函数不是偶函数,所以②错误.
③因为f(x+1)=[x+1]-(x+1)=[x]+1-x-1=[x]-x=f(x),所以f(x)是周期函数,最小正周期为1,所以③正确.
④由③可知函数是周期函数,所以在定义域上函数不单调,所以④错误.
故答案为:③.
点评:本题主要考查函数的基本性质--定义域、值域、单调性、周期性.考查对基础知识的掌握程度和灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

16、设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[5.1]=5、则下列对函数f(x)=[x]所具有的性质说法正确的有
①②③④
.填上正确的编号)①定义域是R,值域是Z;②若x1≤x2,则[x1]≤[x2];③[n+x]=n+[x],其中n∈Z;④[x]≤x<[x]+1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•青岛一模)定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]{x},g(x)=x-1,当0≤x≤k时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5,则k的值为(  )

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(2013•内江一模)定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+(5-3)=3,用[x]表示不超过x的最大整数,记<x>=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•<x>,g(x)=2x-[x]-2,若d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程f(x)=g(x)、不等式f(x)<g(x)解集的长度,则当0≤x≤2012时,有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设x∈R,用[x]表示不超过x的最大值整数,则y=[x]称为高斯函数,下列关于高斯函数的说法正确的有
 

①[-x]=-[x]
②x-1<[x]≤x
③?x,y∈R,[x]+[y]≤[x+y]
④?x≥0,y≥0,[xy]≤[x][y]
⑤离实数x最近的整数是-[-x+
12
].

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科目:高中数学 来源:2013年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]{x},g(x)=x-1,当0≤x≤k时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5,则k的值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9

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