Question

设椭圆过点，且左焦点为

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(Ⅰ)由题意：，解得．

　　所求的求椭圆的方程．

　　(Ⅱ)方法一：设点，，，由题设，、、、均不为0，且，又四点共线，可设，，于是

　　，　　　　　　　　①

　　，　　　　　　　　②

　　由于，在椭圆上，将①②分别带入的方程，整理得：

　　　　③

　　　　④

　　由④－③得．

　　∵，∴．即点总在直线上．

　　方法二：设点，，，由题设，、、、均不为0，记，则且．

　　又四点共线，从而，，于是：

　　，；

　　，．

　　从而　　①

　　　　　　②

　　又点在椭圆上，即

　　　　　　　③

　　　　　　　④

　　①＋2②并结合③，④得，即点总在直线上．

　　本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力．本小题满分13分．