Question

（2004•宁波模拟）（理）已知复数z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=

3 2

4

．
（1）求证：tgA•tgB=

1

9

；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求

|MC|

|AB|

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由复数z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，|z|=

3 2

4

可求得4cos（A-B）=5cos（A+B），展开整理即可；
（2）设|AB|=2a，由题意可求得：|MA|+|MB|=2|AB|=4a，故M在以A，B为焦点的椭圆上，该椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为

3

a，从而建立坐标系，设出椭圆的方程，设M（x，y），利用配方法可求

|MC|

|AB|

的最大值．

解答：证明：（1）∵|z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3 2

4

]2…（2分）
∴

5

4

•

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=

1

9

…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA•tgB

=-

3

4

，
当且仅当tgA=tgB=

1

3

时，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为

3

a，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为

x2

4a2

+

y2

3a2

=1，M(x，y)则

|MC|2

|AB|2

=

x2+(y- a 3 )2

4a2

=-

y2

12a2

-

y

6a

+

37

36

=-

1

12a2

(y+a)2+

10

9

(-

3

a≤y≤

3

a)
所以，当y=-a时，(

|MC|

|AB|

)max=

10

3

…（13分）

点评：本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等差数列的性质，三角函数的降幂公式及两角和的余弦，难点在于（2）中基本不等式的应用及点M的轨迹分析，是一道综合性强的题目．