Question

已知（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，且展开式中含x²的系数与(x+

5

4

)4的展开式中x³的系数相等，则锐角θ的值是（　　）

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  6

• C．

  π

  3

• D．

  π

  4

Answer 1

分析：由题意，（x•cosθ+1）ⁿ的展开式中二项式系数之和为32，即2ⁿ=32，可得n=5；由二项式定理求得（x•cosθ+1）ⁿ展开式中x²项的系数与(x+

5

4

)4的展开式中x³的系数，令两者相等根据题意，可得10cos²θ=5，解可得cos2θ=

1

2

，又由θ为锐角，可得cosθ的值，进而可得答案．

解答：解：由（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展开式中二项式系数之和为32，得2ⁿ=32，则n=5；
故（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）展开式中x²的系数为C₅³cos²θ=10cos²θ，
(x+

5

4

)4的展开式中x³的系数为

C

1 4

•

5

4

=5，
根据题意，有10cos²θ=5，则cos2θ=

1

2

，
又由θ为锐角，则cosθ=

2

2

，
即θ=

π

4

；
故选D．

点评：本题考查二项式定理的应用，注意角θ为锐角，其余弦为正值．