Question

条件p：函数y=f（x）满足f（x+π）=-f（x），条件q：y=f（x）是以2π为周期的函数，那么p与q之间的关系是（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：因为f（x+π）=-f（x），由此可得f（x+π+π）=-f（x+π），即f（x+2π）=f（x），即函数f（x）是周期函数并且周期为2π．反过来，可通过举出反例得出不能成立．可得答案．

解答：解：因为f（x+π）=-f（x），
可得f（x+π+π）=-f（x+π），
即f（x+2π）=f（x），
即函数f（x）是周期函数并且周期为2π，
所以p⇒q；
反之，设f（x）=tanx，它满足是以2π为周期的函数，
但是，f（x+π）=tan（x+π）=tanx，f（x）=tanx，
f（x+π）≠-f（x），
即q不能推出p．
那么p是q的充分不必要条件．
故选A．

点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、函数的周期性等基本知识，解答关键是由f（x+π）=-f（x）可得函数的周期．