Question

16．已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+1}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解　（1）设等差数列{a_n}的公差为d，且d＞0，
由等差数列的性质，得a₂+a₅=a₃+a₄=22，
所以a₃，a₄是关于x 的方程x²-22x+117=0的解，
所以a₃=9，a₄=13，易知a₁=1，d=4，故通项为a_n=1+（n-1）×4=4n-3．…（6分）
（2）∵a_n=4n-3，∴a_n+1=4n-2．
∴数列{a_n+1}是以2为首项，4为公差的等差数列，
其前n项和=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²．

点评 本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．