Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=r（r＞0）且a_n+2=qa_n（q＞0，q≠1），又设b_n=a_2n-1-a_2n（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）假设对任意n＞1都有S_n＞b_n，求r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 bn=a_2n-1-a_2n =qa_2n-3-qa_2n-2 =q（a_2n-3-a_2n-2）=qb_n-1，故数列{b_n}是以q为公比的等比数列，b₁=a₁-a₂=1-r，由此求得数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n ．
（2）由于 对任意n＞1都有S_n＞b_n，故 s₂＞b₂，化简可得 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，再结合条件求得r的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得 bn=a_2n-1-a_2n =qa_2n-3-qa_2n-2 =q（a_2n-3-a_2n-2）=qb_n-1，
故数列{b_n}是以q为公比的等比数列，b₁=a₁-a₂=1-r，
∴bn=qn-1(1-r)，
由等比数列前n项和公式求得 sn=(1-r)•

1-qn

1-q

．
（2）∵对任意n＞1都有S_n＞b_n，
∴s₂＞b₂，即(1-r)•

1-q2

1-q

＞q^n-1（1-r），即 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．
再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，∴r＜1．
又r＞0，∴1＞r＞0，即 r∈（0，1），
故r的取值范围为 （0，1）．

点评：本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等比关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．