Question

【题目】已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，

当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，

又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），

故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）

（2）解：因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，

而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，

所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1

又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，

所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，

f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．

因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣ ﹣2lna，

令g（a）=a﹣ ﹣2lna（a＞0），

因为g′（a）= ＞0，

所以g（a）=a﹣ ﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．

而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；

当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）

所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，

而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；

当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即 +lna≥e﹣1，函数y= +lna在a∈（0，1）上是减函数，

解得0＜a≤ ．

综上可知，所求a的取值范围为（0， ]∪[e，+∞）．

【解析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．