Question

设函数g(x)= (a，b∈R)，在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x)．
（1）若方程f(x)=0有两个实根分别为一2和4，求f(x)的表达式；
（2）若g(x)在区间[一1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

（1）f(x)= x²-2x-8（2）13

（1）根据导数的几何意义知f(x)=g′(x)=x²+ax-b
由已知一2、4是方程x²+ax-b =0的两个实根-
由韦达定理，,∴，f(x)= x²-2x-8
（2）g(x)在区间【-1.3】上是单调递减函数，所以在【-1，3】区间上恒有
f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0，即f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0在【-1，3】恒成立，
这只需要满足即可，也即
而a²+b²可以视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，所以当时，a²+b²有最小值13