Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆C，它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，

1

2

）．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）设O为坐标原点，过点F（

3

，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，N为AB的中点，连结ON 并延长交曲线C于点E，且

OE

=2

ON

，求|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意，a=2，c=

3

，∴b=1，椭圆的焦点在x轴上，即可求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）利用代入法，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点N的坐标为（x₀，y₀），设直线l的方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程，即可求|AB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，a=2，c=

3

，∴b=1，
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）点M（x，y），点P（x′，y′），由题意可知

x= x′+1 2 y= y′+ 1 2 2

，
∴

x′=2x-1 y′=2y- 1 2

，
又∵P是椭圆上的动点，
∴点M的轨迹C的方程为(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1；
（Ⅲ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点N的坐标为（x₀，y₀），
①当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意，舍去； 
②设直线l：x=my+

3

，代入椭圆方程消去x，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0
∴y₀=-

3 m

m2+4

，
∴x₀=my₀+

3

=

4 3

m2+4

，
∴点N的坐标为（

4 3

m2+4

，-

3 m

m2+4

），
由

OE

=2

ON

，则点E的为（

8 3

m2+4

，-

2 3 m

m2+4

），
由点E在曲线C上，得

48

(m2+4)2

+

12m2

(m2+4)2

=1，
即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．
∴|AB|=

1+m2

•

(- 2 3 m m2+4 )2+ 4 m2+4

=3．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．