Question

安徽蔬博会期间，某投资商到和城开发区投资72万元建一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元．从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f（n）表示第n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）该厂从第几年开始盈利？
若干年后，该投资商准备开发新项目，对该厂有两种处理方案：
①年平均利润达到最大时，以48万元出售该厂．
②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂．
请您帮他决策一下，哪种方案更合算．

Answer 1

（1）依题意可得f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0
解得2＜n＜18
故从第三年开始赢利．
（2）方案①年平均纯利润

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16
当且仅当n=6时等号成立
故方案①共获利6×16+48=144（万元）此时n=6．（9分）
方案②f（n）=-2（n-10）²+128当且仅当n=10时，最大值为128万元，故方案②共获利128+16=144（万元）
故比较两种方案，获利相同，但方案①只需6年而方案②需10年，
投资商选择方案①更合算．（13分）