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(Ⅰ)已知函数,若存在,使得,则称是函数的一个不动点,设二次函数.
(Ⅰ) 当时,求函数的不动点;
(Ⅱ) 若对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,求实数的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.

(Ⅰ)函数的不动点为 。
(Ⅱ) 
(Ⅲ)实数的取值范围.

解析试题分析:
思路分析:(Ⅰ) 解方程确定函数的不动点为 。
(Ⅱ)由题意,得到方程恒有两个不相等的实数根,
根据判别式,解得 
(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为得到,
的两个不等实根, 得到
直至中点坐标为。根据
,且在直线上得到a,b的关系。
解:(Ⅰ) 当时,
,得
所以函数的不动点为 。
(Ⅱ)因为 对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,
所以,对于任意实数,方程恒有两个不相等的实数根,
即方程恒有两个不相等的实数根,
所以 
即 对于任意实数
所以  ,解得  
(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为,则,
的两个不等实根, 所以
直线的斜率为1,线段中点坐标为
因为 直线是线段的垂直平分线,
所以 ,且在直线
则       
所以  当且仅当时等号成立
     所以 实数的取值范围.
考点:新定义问题,均值定理的应用,一元二次方程根的研究。
点评:难题,本题给出“不动点”的概念,解题过程中,应注意理解并应用这一概念。将问题转化成一元二次方程问题,结合直线方程,应用均值定理,达到解题目的。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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