(Ⅰ)已知函数,若存在,使得,则称是函数的一个不动点,设二次函数.
(Ⅰ) 当时,求函数的不动点;
(Ⅱ) 若对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,求实数的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.
(Ⅰ)函数的不动点为 。
(Ⅱ)
(Ⅲ)实数的取值范围.
解析试题分析:
思路分析:(Ⅰ) 解方程确定函数的不动点为 。
(Ⅱ)由题意,得到方程恒有两个不相等的实数根,
根据判别式,解得 。
(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为得到,,
且是的两个不等实根, 得到
直至中点坐标为。根据
,且在直线上得到a,b的关系。
解:(Ⅰ) 当时,,
解,得。
所以函数的不动点为 。
(Ⅱ)因为 对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,
所以,对于任意实数,方程恒有两个不相等的实数根,
即方程恒有两个不相等的实数根,
所以 ,
即 对于任意实数,,
所以 ,解得
(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为,则,
且是的两个不等实根, 所以
直线的斜率为1,线段中点坐标为
因为 直线是线段的垂直平分线,
所以 ,且在直线上
则
所以 当且仅当时等号成立
又 所以 实数的取值范围.
考点:新定义问题,均值定理的应用,一元二次方程根的研究。
点评:难题,本题给出“不动点”的概念,解题过程中,应注意理解并应用这一概念。将问题转化成一元二次方程问题,结合直线方程,应用均值定理,达到解题目的。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数,且不等式的解集为.
(1)方程有两个相等的实根,求的解析式;
(2)的最小值不大于,求实数的取值范围;
(3)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)已知函数,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.
(I)指出函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;
(III)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
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已知正项数列中,,点在抛物线上;数列中,点在过点(0, 1),以为斜率的直线上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若 , 问是否存在,使成立,若存在,求出值;若不存在,说明理由;
(3)对任意正整数,不等式恒成立,求正数的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x+1﹣)元.
(1)求证:生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+)元;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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