Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；并求该曲线在x=1处的切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间，令导数等于0，解得函数的极值点，再根据极值点两侧的导数的正负判断是极大值还是极小值．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，则y=f（x）图象与y=a图象必有3个不同的交点，a应该介于函数的极小值与极大值之间．
（Ⅲ）因为x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可转化为k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，所以k小于等于

x3-6x+5

x-1

的最小值，再化简

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）对函数f（x）=x³-6x+5求导，得函数f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或=＜-

2

f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），单调递减区间是（-

2

，

2

）
当x=-

2

，f（x）有极大值5+4

2

；当x=

2

，f（x）有极小值5-4

2

又∵f′（1）=-3，f（1）=0
∴曲线在x=1处的切线方程为y=-3x+3                 
（Ⅱ）当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，此时方程f（x）=a有3个不同实根．
∴实数a的取值范围为（5-4

2

，5+4

2

）
（Ⅲ）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，则g（x）=

(x2+x-5)(x-1)

x-1

=x²+x-5，
∴g（x）的最小值为-3，∴k≤-3

点评：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．