Question

已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意得，，，解得-1≤x＜1
∴函数的定义域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2^x+2+3•4^x）=4a•2^x+3•2^2x=3-a²，
由（1）知，x∈[-1，1），设t=2^x，则t∈[，2），
函数变为g（t）=3-a²，又∵a＞-3，∴，
①若≤时，即a≥-，函数g（t）在[，2）上时增函数，
∴f（x）的最小值是g（）=3-a²=2a+，
②若＜＜2时，即-3＜a＜-，当t=时，f（x）取到最小值是-a²．
综上，当a≥-时，f（x）的最小值是2a+；当-3＜a＜-，f（x）的最小值是-a²．
分析：（1）由题意列出不等式组，求出解集再用区间表示；
（2）用配方法对解析式变形，设t=2^x由（1）的结果求出t的范围，则原函数变成关于t的二次函数，再根据对称轴和t的范围进行分类，由二次函数的性质求出对应的最小值．
点评：本题是一道综合题，考查了求函数的定义域和最值，用了对数函数、指数函数和二次函数的性质，利用换元法对函数解析式进行转化后再求函数的最值，注意换元后的定义域和对称轴的位置．