Question

如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量的坐标；
（Ⅱ）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，根据题意可得BD=1，CD=，所以DE=CD•sin30°=．即可得到OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-，进而得到点D的坐标．
（2）依题意可得：分别求出和的坐标表示，进而得到答案．
解答：解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△BDC中，因为∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
所以可得BD=1，CD=，
∴DE=CD•sin30°=．
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-，
∴D点坐标为（0，-），
所以=（0，-）．
（2）依题意可得：，
所以．
因为向量和的夹角为θ，
所以cosθ==．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到线面关系建立坐标系，再利用向量的有关知识解决空间问题．