Question

口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（II）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（III）计分介于17分到35分之间的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率．
（Ⅱ）由题意ξ所有可能的取值为：2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布和数学期望．
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为C，则P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”），由此能求出结果．

解答： （ 满分12分）
解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)=

C 3 4 • C 1 2 • C 1 2 • C 1 2

C 3 8

=

4

7

．…（3分）
（Ⅱ）由题意ξ所有可能的取值为：2，3，4．
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 2

C 3 8

+

C 1 2 C 2 2

C 3 8

=

1

14

，
P（ξ=3）=

C 2 4 C 1 2 + C 1 4 C 2 2

C 3 8

=

2

7

，
P（ξ=4）=

C 2 6 C 1 2 + C 1 6 C 2 2

C 3 8

=

9

14

，…（7分）
∴随机变量ξ的概率分布为

ξ	2	3	4
P	1 14	2 7	9 14

∴ξ的数学期望为Eξ=2×

1

14

+3×

2

7

+4×

9

14

=3

4

7

．　 …（9分）
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为C，
则P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”）=P（“ξ=3”）+P（“ξ=4”）
=

2

7

+

9

14

=

13

14

．…（12分）

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．