Question

5．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1在y轴正半轴上的顶点为M，右焦点为F，延长线段MF与椭圆交于N．
（1）求直线MF的方程；
（2）若该椭圆长轴的两端点为A，B，求四边形AMBN的面积．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆方程可知M（0，1）、F（1，0），进而利用两点式可得方程；
（2）通过（1）联立直线MF与椭圆方程，利用韦达定理可知y_N=-$\frac{1}{3}$，利用S_{四边形AMBN}=S_△ABM+S_△ABN计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，M（0，1），F（1，0），
∴直线MF的方程为：$\frac{y-0}{x-1}$=$\frac{1-0}{0-1}$，
整理得：x+y-1=0；
（2）联立直线MF与椭圆方程，
消去x整理得：3y²-2y-1=0，
由韦达定理可知：1+y_N=$\frac{2}{3}$，即y_N=-$\frac{1}{3}$，
由椭圆方程可知|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形AMBN}=S_△ABM+S_△ABN
=$\frac{1}{2}•$|AB|•（|y_M|+|y_N|）
=$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{2}$•（1+$\frac{1}{3}$）
=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及直线方程、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于基础题．