Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点是F₁、F₂，且|F₁F₂|=2，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点F₂的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF₂|•|F₂B|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|F₁F₂|=2，离心率为$\frac{1}{2}$，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|AF₂|•|F₂B|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2c=2\end{array}\right.$，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2c=2\end{array}\right.$解得$a=2，b=\sqrt{3}$．
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．　　　　…（5分）
（Ⅱ）因为F₂（1，0），当直线$A（1，\frac{3}{2}）$的斜率不存在时，$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（1\;，\;-\frac{3}{2}）$，
则$|A{F_2}|•|{F_2}B|=\frac{9}{4}$，不符合题意．
当直线y=k（x-1）的斜率存在时，直线y=k（x-1）的方程可设为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（*）．
设${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，则${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$、${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$是方程（*）的两个根，
所以${x_2}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
所以$|A{F_2}|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+{y_1}^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-1}|$，
所以$|{F_2}B|=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+{y_2}^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}-1}|$
所以$|A{F_2}|•|{F_2}B|=（1+{k^2}）|{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}|$=$（1+{k^2}）|{\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}|$=$（1+{k^2}）|{\frac{9}{{3+4{k^2}}}}|$
$\begin{array}{l}=（1+{k^2}）\frac{9}{{3+4{k^2}}}\\=\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）.\end{array}$
当k²=0时，|AF₂|•|F₂B|取最大值为3，
所以|AF₂|•|F₂B|的取值范围$（{\frac{9}{4}，3}]$．
又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF₂|•|F₂B|取值为$\frac{9}{4}$．
所以|AF₂|•|F₂B|的取值范围$[{\frac{9}{4}，3}]$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．