Question

已知偶函数f（x）对任意x均满足f（3+x）+f（-1-x）=6，且当x∈[1，2]时，f（x）=x+2．若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=2有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（1，2）
• B、(2，2

  3

  )
• C、(2，2

  2

  )
• D、(2

  2

  ，2

  3

  )

Answer 1

分析：依题意，可求得偶函数f（x）的图象关于直线x=2对称，是以4为周期的函数，作出y=f（x）的图象后，构造函数g（x）=log_a（x+2），h（x）=f（x）-2，作图分析即可求得答案．

解答：解：∵f（3+x）+f（-1-x）=6，
令-1-x=t，则x=-1-t，3+x=2-t，
∴f（t）+f（2-t）=6，
∴f（-t）+f（2+t）=6，又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），
∴f（t）=f（-t），
∴f（2+t）=f（2-t），
∴f（2+x）=f（2-x），
∴偶函数f（x）的图象关于直线x=2对称；①
由f（x）+f（2+x）=6，知f（4+x）+f（2+x）=6，
∴f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数；②
∵当x∈[1，2]时，f（x）=x+2，
∴令-1＜x＜0，则1＜x+2＜2，
∴f（x+2）=（x+2）+2=6-f（x），
∴f（x）=2-x（-1＜x＜0）；
同理可求，当0＜x＜1时，f（x）=x+2；
∴y=f（x）的图象如下：

由f（x）-log_a（x+2）=2得：log_a（x+2）=f（x）-2，
令g（x）=log_a（x+2），h（x）=f（x）-2，
方程f（x）-log_a（x+2）=2有五个不相等的实数根?g（x）=log_a（x+2）与h（x）=f（x）-2有5个交点，作图如下：

由图知，0＜log_a（6+2）＜2且log_a（10+2）＞2，
解得：2

2

＜a＜2

3

．
故选：D．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的对称性、周期性的确定及应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．