Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）设BD交AC于O，连PO，
∵P为DD₁的中点，O为DB的中点
∴PO∥BD₁
又PO?面PAC，BD₁?面PAC
∴BD₁∥平面PAC
解：（2）连A₁C₁交B₁D₁于O₁点，连BO₁，
则A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁C₁⊥BB₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，
即∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角
∵A₁O₁=，A₁B=
∴sin∠∠A₁BO₁=（12分）
分析：（1）设BD交AC于O，连PO，由三角形性中位线定理，我们可得PO∥BD₁，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BD₁∥平面PAC；
（2）连A₁C₁交B₁D₁于O₁点，连BO₁，由线面垂直的判定定理，可得A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，即∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角，解三角形A₁BO₁即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是判断出PO∥BD₁，（2）的关键是判定出∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角．