Question

已知函数是偶函数，g（x）=t•2^x+4，
（1）求a的值；
（2）当t=-2时，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）是偶函数，得f（x）=f（-x），即，
化简得2^2ax=4^x，故a=1；
（2）f（x）＜g（x）即，亦即3•4^x-4•2^x+1＜0，
所以，即，
所以不等式f（x）＜g（x）的解集为；
（3）因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，
所以f（x）＞g（x），即，得，
∵，∴t＜-3；
故实数t的取值范围为：t＜-3．
分析：（1）由偶函数的定义知f（x）=f（-x），化简即可求得a值；
（2）对f（x）＜g（x）进行等价变形可化为关于2^x的二次不等式，解得2^x的范围，进而可得x的范围；
（3）函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，等价于f（x）＞g（x）恒成立，分离出t后转化为求函数的最值解决；
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查指数不等式的求解及函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．