Question

抛物线y²＝2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的
影依次为C、D、N．求证：
(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点)

Answer 1

(1)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、中点M(x₀，y₀)，焦点F的坐标是(，0)．
由得ky²－2py－kp²＝0．
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C(－，y₁)、D(－，y₂)、N(－，y₀)．
∵，
由ky²－2py－kp²＝0
得y₁y₂＝＝－p²，
∴k_OA＝k_OD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．
(2)k_FN＝，当x₁＝x₂时，显然FN⊥AB；当x₁≠x₂时，
k_AB＝
，∴k_FN·k_AB＝－1．∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．

同答案