Question

12．已知正项等比数列{a_n}的首项是2，第2项与第3项的和是12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过2q+2q²=12可知公比q=2，进而可得结论；
（2）通过a_n=2ⁿ可知b_n=n•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁=2，∴a₂=2q，a₃=2q²，
又∵第2项与第3项的和是12，
∴2q+2q²=12，
解得q=2或q=-3（舍），
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．