Question

12．已知函数$f（x）=cos（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调区间，对称中心；
（2）若关于x的方程2cos²x+mcosx+2=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$上有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性、图象的对称性求得函数f（x）的单调区间，对称中心．
（2）令t=cosx，t∈（0，1），根据m=-2（t+$\frac{1}{t}$ ），以及函数m在（0，1）上单调递减，求得m的范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=cos（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，$ω=2，f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）$．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，可得函数的单调递增区间$[{kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}}]k∈Z$；
同理，令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的调递减区间$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]k∈Z$．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得函数的对称中心为 $（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0}）k∈Z$．
（2）令t=cosx，t∈（0，1）则2t²+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+$\frac{1}{t}$ ），
令$k（t）=（t+\frac{1}{t}）$，任取0＜t₁＜t₂＜1，有$k（{t_1}）-k（{t_2}）=（{t_1}-{t_2}）（1-\frac{1}{{{t_1}{t_2}}}）＞0$，
因此$k（t）=（t+\frac{1}{t}）$在（0，1）上单调递减，因此m＜-2k（1）=-4，
所以m范围{m|m＜-4}．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性以及图象的对称性，函数的单调性的定义，求函数的值域，属于中档题．