【题目】《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本
（元）与每月分类处理量
（吨）之间的函数关系式可近似表示为
，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.
（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；
（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？
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【题目】如图，已知圆
：
（
）和双曲线
：
（
），记与
轴正半轴、
轴负半轴的公共点分别为
、
，又记与在第一、第四象限的公共点分别为
、
.
（1）若
，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且
，求实数
的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点
，使得
.
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【题目】若存在
与正实数
，使得
成立，则称函数
在
处存在距离为
的对称点，把具有这一性质的函数称之为“
型函数”．
（1）设
，试问是否是“
型函数”？若是，求出实数的值；若不是，请说明理由；
（2）设
对于任意
都是“型函数”，求实数
的取值范围．
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【题目】如图，直线
平面
，四边形是正方形，且
，点
，
，
分别是线段
，
，
的中点.
(1)求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角表示)；
(2)在线段上是否存在一点
，使
，若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由.
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【题目】如果数列
对于任意
，都有
，其中
为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足
，，
.
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设
为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数
的取值范围；
（3）类似地：非零数列
对于任意，都有
，其中
为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列
中，满足
，
，
，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数
使得对于任意，都有
；若不是，说明理由.
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【题目】若
(1)当
时,设
所对应的自变量取值区间的长度为
(闭区间
的长度为
),试求的最大值；
(2)是否存在这样的
使得当
时,?若存在,求出
的取值范围；若不存在,说明理由.
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【题目】下图为函数
的部分图象，
、
是它与
轴的两个交点，
、
分别为它的最高点和最低点，
是线段
的中点，且
为等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移
个单位长度得到
的图象，求的解析式及单调增区间，对称中心.
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【题目】学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），得到的样本频率分布表如下：
分组 | 频数 | 频率 |
| 2 | 0.04 |
| 3 | 0.06 |
| 14 | 0.28 |
| 15 | 0.30 |
|
|
|
| 4 | 0.08 |
合计 |
|
|
（1）在给出的样本频率分布表中，求
，
，
，
的值；
（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；
（3）抽取的50名学生中，为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在
的学生中选两位同学，共同帮助成绩在
中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为135分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.
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