Question

如图，在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，M、N分别是BC、AC₁中点，AA₁＝2，AB＝，AC＝AM＝1.

（1）证明：MN∥平面A₁ABB₁；
（2）求几何体C—MNA的体积.

Answer 1

（1）证MN∥A₁B ；（2）.

试题分析：（1）因为，M、N分别是BC、AC₁中点，连A₁B, A₁C,则咋三角形A₁BC中，由三角形中位线定理知，MN∥A₁B ，又平面A₁ABB₁，所以，MN∥平面A₁ABB₁；   6分
（2）因为，侧棱垂直底面，所以侧面垂直于底面。由N是AC₁中点，取AC的中点G,则NG垂直于底面，即为三棱锥C—MNA，亦即三棱锥N—AMC的高=AA₁，而AA₁＝2，AB＝，
AC＝AM＝1，由三角形中线定理，
所以，CM=BM=,，.               12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题体积计算应用了“等积法”。