Question

已知函数f（x）=e^x-1-e^1-x．
（1）该函数图象上是否存在不同两点A、B，使过A、B的直线平行于x轴？证明你的结论；
（2）若函数h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）观察知，此函数是一个增函数，故不存在不同两点A、B，使过A、B的直线平行于x轴，证明出函数是一个增函数，即可说明结论；
（2）由（1）知，f（x）=0时必有e^x-1=e^1-x 成立，解得x=1，由此知函数h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零点必有25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1=1从而得到m=25^-|x+1|-4•5^-|x+1|，利用换元法，将其转化为二次函数，解出值域即得实数m的取值范围．

解答：解：（1）函数图象上不存在不同两点A、B，使过A、B的直线平行于x轴，证明如下：
由函数f（x）=e^x-1-e^1-x知，此函数中e^x-1是一个增函数，e^1-x是一个减函数，故f（x）=e^x-1-e^1-x是一个增函数，
由此知函数图象上不可能存在两个不同的点，其纵坐标相等，即该函数图象上不存在不同两点A、B，使过A、B的直线平行于x轴
（2）由（1）知，函数f（x）=e^x-1-e^1-x是一个增函数，当f（x）=0时必有e^x-1=e^1-x 成立，即有x-1=1-x，即x=1时函数值为0
又函数h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零点，故25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1=1，整理得m=25^-|x+1|-4•5^-|x+1|，
不妨令t=5^-|x+1|=(

1

5

)|x+1|，所以t∈（0，1）
即m=t²-4t=（m-2）²-4，t∈（0，1），
∴m∈（-3，0）

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查了指数型函数单调性的判断，函数恒存在零点的问题，解题的关键是理解题意，将所研究的问题准确转化，第一小题中转化为研究函数图象上有没有两点纵坐标相等，第二小题中由函数一定存在零点转化出m的方程，将方程转化为函数，从而借助求函数的值域求出实数m的取值范围，本题综合性强，是能力型题，由题设条件分析出解决问题的方法是本题的重点．