Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，分别求出a＞0，c＜0，易根据二次方程根的个数及△的关系，得到答案．
（II）由题意可得F（x）=ax²+2bx+c，我们可根据二次函数在闭区间上的最值求法，结合函数F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，构造关于a，b的方程，解方程即可求出答案．

解答 证明：（Ⅰ）由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，
而a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∴△=4b²-4ac＞0；
因此函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点；
解：（Ⅱ）由题意知，F（x）=ax²+2bx+c
∴函数F（x）的图象的对称轴方程为x=-$\frac{b}{a}$，又∵a+b+c=0
∴x=$\frac{a+c}{a}$=1+$\frac{c}{a}$＜1（8分）
又a＞0
∴F（x）在[2，3]单增
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=9}\\{f（3）=21}\end{array}\right.$，（10分）
即 $\left\{\begin{array}{l}{3a+3b=9}\\{8a+5b=21}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是二次函数图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．