已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;
(2)求函数M(x)=的最大值;
(3)如果不等式f(x2)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解,求实数k的取值范围.
(1)[0,2].(2)当x=2时,M(x)取到最大值为1.
(3)k<-2.
解析试题分析:(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2,
∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2],
∴h(x)的值域为[0,2].
(2):f(x)-g(x)=3(1-log2x).
当x>2时,f(x)<g(x);当0<x≤2时,f(x)≥g(x).
∴M(x)==
当0<x≤2时,M(x)最大值为1;
当x>2时,M(x)<1;
综上:当x=2时,M(x)取到最大值为1.
(3)由f(x2)f()>kg(x)得
(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,
令t=log2x,∵x∈[2,4],∴t∈1,2],∴存在t∈[1,2]使(3-4t)(3-t)>kt,
即k<= 4t+-15成立
记h (x) = 4t+-15,则k< h (x)max即可,易得h (x)max=-2
综上:k<-2.
考点:函数的最值
点评:解决的管家式利用对数式的运算,以及函数的性质,均值不等式来求解最值,属于中档题。
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