Question

给出下列三个命题：
①若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数；
②若函数f（x）=2^x，g（x）=log₂x，则函数y=f（2x）与y=

1

2

g（x）的图象关于直线y=x对称；
③函数y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

与y=lntan

x

2

是同一函数． 其中真命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据奇函数的性质及已知中f（x）=f（2-x）恒成立，可得f（x）=f（x-4），进而由函数周期性的定义，判断出①的真假；由已知条件分别求出函数y=f（2x）与y=

1

2

g（x）的解析式，再由同底的指数函数和对数互为反函数，判断出②的真假；化简函数y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

的解析式，后比照两个函数的解析式和定义域，可判断③的真假，进而得到答案．

解答：解：①正确：
∵函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=-f（x-2）=-[-f（x-2-2）=f（x-4），
∴f（x）为以4为周期的周期函数；
②正确：
∵函数f（x）=2^x，g（x）=log₂x，
∴y=f（2x）=4^x，y=

1

2

g（x）=log₄x，
即y=f（2x）与y=

1

2

g（x）互为反函数，
其图象关于直线y=x对称；
③错误：
y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=y=ln|tan

x

2

|．
故选C

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，判断两个函数是否为同一函数，函数的周期性，其中③中易忽略(a2)

1

2

=

a2

=|a|，而错判为正确，从而错选D．