Question

（I）求异面直线MN和CD₁所成的角；
（II）证明：EF//平面B₁CD₁.

Answer 1

（1）60°

（I）连结BC₁、AD₁、AC，则在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB、A₁B₁、C₁D₁
所以四边形ABC₁D₁为平行四边形，从而AD₁//BC₁.
又M、N分别为BB₁，B₁C₁的中点，，进而MN//AD₁.
从而∠AD₁C为异面直线MN与CD₁所成的角. ………………4分
令正方体棱长为a，则AD₁=D₁C=AC=. 即△AD₁C为正三角形
所以，即异面直线MN和CD₁所成的角为60°   ……6分
（II）证明: ∵ BB₁ //DD₁  BB₁ =DD₁  ∴四边形BB₁D₁D是平行四边形 
∴  BD // B₁D₁                                                 ……8分
又E、F分别是棱、AB和AD的中点. ∴EF//BD ∴  EF // B₁D₁……10分
EF 平面B₁CD₁  B₁D₁平面B₁CD₁
∴EF//平面B₁CD₁                                                      ……12分