Question

已知函数f（x）、g（x）对任意实数x、y都满足条件①f（x+1）=3f（x），且f(0)=

1

3

，②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n为正整数）
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（II）设a_n=g[f（n）]，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数f（x）中的x=n便可知道数列{f（n）}为等比数列将g（x+y）中的x=n/y=1即可知道数列{g（n）}为等差数列，根据题中已知条件便可求出数列{f（n）}和{g（n）}的通项公式；
（II）由（I）中求得的数列{f（n）}和{g（n）}的通项公式便可求出an的通项公式，然后即可求出数列{a_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由条件①中f（x+1）=3f（x），得

f(n+1)

f(n)

=3为常数，
可知{f（n）}是以3为公比的等比数列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3^n-1=3^n-1
在条件②中，令x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2为公差的等差数列，
∴g（n）=g（6）+（n-6）•2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（II）由（Ⅰ）得a_n=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3^n-1+3，
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

2(1-3n)

1-3

+3n
=3ⁿ+3n-1．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本公式以及数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对知识的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．