Question

（2012•昌平区二模）实数列a₀，a₁，a₂，a₃…，由下述等式定义an+1=2n-3an，n=0，1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₀为常数，求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求依赖于a₀和n的a_n表达式；
（Ⅲ）求a₀的值，使得对任何正整数n总有a_n+1＞a_n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用an+1=2n-3an，代入求解即可；
（Ⅱ）由an+1=2n-3an，得

an+1

(-3)n+1

-

an

(-3)n

=

2n

(-3)n+1

，令bn=

an

(-3)n

，所以bn+1-bn=

2n

(-3)n+1

，利用叠加法，可得

an

(-3)n

=

a1

-3

+

2

15

(1-(-

2

3

)n-1)，从而可得结论；
（Ⅲ）先得出

1

3n

(an+1-an)=

1

5

(

2

3

)n+(-1)n•4•(

1

5

-a0)，再对

1

5

-a0进行分类讨论，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=2n-3an，∴a₁=1-3a₀，a₂=-1+9a₀，a₃=7-27a₀…（2分）
（Ⅱ）由an+1=2n-3an，得

an+1

(-3)n+1

-

an

(-3)n

=

2n

(-3)n+1

…（3分）
令bn=

an

(-3)n

，所以bn+1-bn=

2n

(-3)n+1

所以b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=b1+

2

(-3)2

+

22

(-3)3

+

23

(-3)4

+…+

2n-1

(-3)n

=b1+(-

1

3

)[(-

2

3

)+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-1]=b1+(-

1

3

)

(- 2 3 )(1-(- 2 3 )n-1)

1-(- 2 3 )

=b1+

2

15

(1-(-

2

3

)n-1)，…（6分）
所以

an

(-3)n

=

a1

-3

+

2

15

(1-(-

2

3

)n-1)…（7分）
所以an=a1•(-3)n-1+

2

15

[(-3)n+3•2n-1]=(1-3a0)(-3)n-1+

2

15

[(-3)n+3•2n-1]
=

1

5

[2n+(-1)n-1•3n]+(-1)n•3n•a0…（8分）
（Ⅲ）∵an+1-an=

1

5

[2n+1+(-1)n•3n+1]+(-1)n+1•3n+1•a0-

1

5

[2n+(-1)n-1•3n]-(-1)n•3n•a0
=

1

5

•2n+(-1)n•4•3n(

1

5

-a0)
∴

1

3n

(an+1-an)=

1

5

(

2

3

)n+(-1)n•4•(

1

5

-a0)…（10分）
如果

1

5

-a0＞0，利用n无限增大时，(

2

3

)n的值接近于零，对于非常大的奇数n，有a_n+1-a_n＜0；
如果

1

5

-a0＜0，对于非常大的偶数n，a_n+1-a_n＜0，不满足题目要求．
当a0=

1

5

时，an+1-an=

1

5

•2n，于是对于任何正整数n，a_n+1＞a_n，因此a0=

1

5

即为所求．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的研究，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．