Question

已知抛物线E：x²=2py（p＞0）的准线方程是y=-

1

2

．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点F（0，

1

2

）的直线l与抛物线E交于P，Q两点，设N（0，a）（a＜0），且

NP

•

NQ

≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的准线方程求出p的值，则抛物线的方程可求；
（2）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的方程，利用根与系数关系求出两交点的横坐标的和与积，代入

NP

-

NQ

≥0后整理得到2k2+1≥a-

3

4a

，对k∈R恒成立，求出不等式左边的范围后代入不等式求解a的范围．

解答：解：（1）∵抛物线的准线方程是y=-

1

2

，∴-

p

2

=-

1

2

，解得p=1，
抛物线E的方程是x²=2y．
（2）设直线l方程是y=kx+

1

2

，与x²=2y联立，消去y得，
x²-2kx-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1，
∵

NP

•

NQ

≥0，∴x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）≥0，
又y1y2=

x12x22

4

，y1+y2=

x12+x22

2

=

(x1+x2)2-2x1x2

2

，
得2k2+1≥a-

3

4a

，对k∈R恒成立，
而2k²+1≥1，∴a-

3

4a

≤1(a＜0)，解得a≤-

1

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数的关系，训练了分离变量法，属有一定难度题目．