Question

以双曲线

x2

3

-y²=1左焦点F，左准线l为相应焦点，准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的焦点和左准线方程，设出椭圆方程，联立直线方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求出直线和x轴的交点，得到方程求出中点坐标，再由椭圆中心（m，0）在F的左侧，解不等式即可得到k的范围．

解答： 解：双曲线

x2

3

-y²=1的左焦点为（-2，0），左准线l：x=-

3

2

，
可设椭圆

(x-m)2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
与直线y=kx+3联立，消去y得：
（b²+a²k²）x²-2（b²m-3a²k）x+9a²-a²b²=0，
△＞0时得x₁+x₂=

2(b2m-3a2k)

b2+a2k2

，
则弦的中点的横坐标为

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
又直线y=kx+3与x轴交于点（-

3

k

，0），
据题设知：-

3

k

=

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
解得m=-

3

k

，
而椭圆中心（m，0）在F的左侧，
∴m=-

3

k

＜-2，
解得0＜k＜

3

2

．
故答案为：（0，

3

2

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查椭圆方程和直线方程联立，运用韦达定理，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．