Question

定义运算：a⊙b=a²+2ab-b²，设函数f（x）=x⊙2，且关于x的方程f（x）=lg|x+2|恰有四个互不相等的实数根x₁、x₂、x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=（　　）

A．-8

B．-4

C．4

D．8

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）=x⊙2 的解析式，可得y=f（x）的图象和函数y=lg|x+2|的图象恰有四个交点，且这4个交点的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、x₄ ．
再根据这2个函数的图象都关于直线x=-2对称，可得这四个互不相等的实数根x₁、x₂、x₃、x₄关于直线x=-2对称，从而求得x₁+x₂+x₃+x₄ 的值．

解答：解：由题意可得函数f（x）=x⊙2=x²+4x-4，
再根据关于x的方程f（x）=lg|x+2|恰有四个互不相等的实数根 x₁、x₂、x₃、x₄，
可得函数y=f（x）的图象（图中的红线）和函数y=lg|x+2|的图象（图中的蓝线）恰有四个交点，
且这4个交点的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、x₄ ．
再根据这2个函数的图象都关于直线x=-2对称，
可得这四个互不相等的实数根x₁、x₂、x₃、x₄，关于直线x=-2对称，
不妨设 x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
故有四个互不相等的实数根满足 x₁+x₄=-4，x₂+x₃=-4，则x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故选A．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的跟的关系，函数图象的对称性，体现了转化的数学思想，属于基础题．