Question

【题目】已知函数，，．

(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)求解出点，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在、和三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.

(Ⅰ)当时，，所以

所以

所以曲线在处的切线方程为，即

(Ⅱ)的定义域是，

令，得

①当时，，所以函数的单调增区间是

②当时，变化如下：

	+		-	-		+
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是

③当时，变化如下：

	+		-	-		+
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是

(Ⅲ)因为，所以

当时，

所以在上恒成立，所以在上单调递增

所以在上的最小值是，最大值是

即当时，的取值范围为

由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增

因为，所以不合题意

当时，，在上单调递减

所以在上的最大值为，最小值为

所以当时，的取值范围为

“对于任意，总存在，使得成立”等价于

即，解得

所以的取值范围为