Question

19．已知动圆过定点F（0，$\frac{1}{4}$），且与定直线l：y=-$\frac{1}{4}$相切．
（1）求动圆圆心的轨迹曲线C的方程；
（2）若点A（x₀，y₀）是直线x-y-1=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N．求证：直线MN恒过定点，并求△AMN面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）由动圆过定点F（0，$\frac{1}{4}$），且与定直线l：y=-$\frac{1}{4}$相切．利用抛物线的定义即可得出．
（2）A（x₀，x₀-1）．由抛物线y=x²，可得y′=2x．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），${y}_{1}={x}_{1}^{2}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}$．可得切线AM方程：${x}_{1}^{2}$-2x₁x₀+（x₀-1）=0．切线AN方程：${x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{0}$+（x₀-1）=0．于是x₁，x₂是一元二次方程t²-2x₀t+（x₀-1）=0的两个实数根，可得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=x₀-1．利用点斜式可得直线MN的方程：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
代入化为x₀（2x-1）+1-y=0，可得直线MN恒过定点$（\frac{1}{2}，1）$．由直线MN的方程：2x₀x-y+1-x₀=0，利用点到直线的距离公式可得：点A到直线MN的距离d=$\frac{|2{x}_{0}^{2}+2-2{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$．利用两点之间的距离公式可得：|MN|=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．可得△AMN面积S=2$（{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+1）^{2}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵动圆过定点F（0，$\frac{1}{4}$），且与定直线l：y=-$\frac{1}{4}$相切．
∴动圆圆心的轨迹是以点F为焦点、直线l为准线的抛物线：x²=y．
∴曲线C的方程为x²=y．
（2）证明：A（x₀，x₀-1）．
由抛物线y=x²，可得y′=2x．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），${y}_{1}={x}_{1}^{2}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}$．
对于切线AM可得：$2{x}_{1}=\frac{{x}_{1}^{2}-（{x}_{0}-1）}{{x}_{1}-{x}_{0}}$，化为${x}_{1}^{2}$-2x₁x₀+（x₀-1）=0．
同理对于切线AN可得：${x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{0}$+（x₀-1）=0．
∵x₁≠x₂，
∴x₁，x₂是一元二次方程t²-2x₀t+（x₀-1）=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=x₀-1．
由直线MN的方程可得：$y-{x}_{1}^{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
化为y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
∴2x₀x-（x₀-1）-y=0，
化为x₀（2x-1）+1-y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{1-y=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=1．
∴直线MN恒过定点$（\frac{1}{2}，1）$．
由直线MN的方程：2x₀x-y+1-x₀=0，
∴点A到直线MN的距离d=$\frac{|2{{x}_{0}}^{2}-（{x}_{0}-1）+1-{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$=$\frac{|2{x}_{0}^{2}+2-2{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）（4{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+4）}$．
△AMN面积S=2$（{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+1）^{2}$=$2[（{x}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]^{2}$≥2×$（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{8}$，当且仅当x₀=$\frac{1}{2}$，即A$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$时，取等号．
∴直线MN恒过定点$（\frac{1}{2}，1）$，△AMN面积S的最小值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．